Mathematik

Hier noch ein bisschen Mathematik-Theorie für meine Mathematik-Schüler (aus langjähriger Erfahrung entstanden) zum Runterladen (PDF-Format):

Mathematik_Elbs (PDF)

Es ist hoffentlich – dank meiner Erfahrung in Neuropädagogik! – die einfachste, eleganteste und schnellste Art, Mathematik zu lernen mit Hilfe von Bällen bzw. Fußbällen... (und das alles auf nur 36 PDF-Seiten!). Insofern hoffe ich, dass diese Schnellmethode schon bald internationaler Standard werden wird...

Sollte jemand noch einen Fehler entdecken, so bitte ich diesen mir umgehend mitzuteilen, damit endlich einmal alles perfekt wird – allerdings habe ich alles (wie immer) unbezahlt gemacht (genauer: im Juli 2008)...

Im übrigen gilt ja: Mathematik (die irgendwann einmal nur noch ein Spezialfall meiner Mapology sein wird, siehe LAWVERE & SCHANUEL 2009 und Physik und Chemie) ist wohl die primitivste aller Wissenschaften bzw. "Künste" (sogar "wir Männer" können ja diese verstehen... (;-) ), und daher ist alles, was mathematisierbar ist, sofort auch automatisierbar und robotisierbar. Denn immerhin passt ja fast die ganze Schulmathematik auf nur 36 Seiten... Und nicht umsonst hat Descartes die moderne Mathematik erfunden, damit er endlich mal "permanent schlafen" konnte (weil dann alles automatisch geht – und so ist es auch kein Wunder, dass für Descartes am Ende alle Organismen schlicht und einfach zu blossen "Automaten" wurden... UND ÜBRIGENS: "Schlafen" bedeutet neurobiologisch ja auch gleichzeitig immer: Optimieren ["Tieferlegen"] und Stabilisieren von neuronalen Netzwerken bzw. neuronalen Karten...).

Im Gegensatz dazu ist es leider immer noch unmöglich ("impossible"), die gesamte RIESIGE und KOMPLEXE "Geschichte" (von der Urzeit bis heute: inkl. Wirtschaftsgeschichte, Politikgeschichte, Technikgeschichte, Sprachgeschichte, Musikgeschichte, Kunstgeschichte, Militärgeschichte, Paläontologie, Ideengeschichte, Psychologiegeschichte, Sozialgeschichte, individuelle Biographien, Wissenschaftsgeschichte, Geschichte der Physik, Geschichte der Mathematik, etc.) einmal komplett physikalisch (thermodynamisch, mathematisch?) "beschreiben" oder gar "erklären" oder "kartieren" ("mappen") zu können, geschweige denn einmal auf lediglich 36 Seiten einem Schüler nahe zu bringen... (vgl. hierzu auch AIGNER & BEHRENDS 2009 [1]).

>>> Siehe auch: Physik und Chemie

Für alle, die sich für Neurobiologie und Mathematik interessieren, hier noch mein Vortrag vom 16. März 2009 im Lernzentrum "Learn In" in Reinach BL ([2]) im Flash-Format: (c. 24 Folien, einfach mit dem rechten Cursor vorwärts klicken!) sowie der volle Vortrag hier zum Runterscrollen:

Folie 1

Hallo zusammen!
Herrn Beat Mayer (dem leider erst kürzlich verstorbenen Gründer des "Learn In" in Reinach BL) lag die Neuropädagogik sehr am Herzen. Daher habe ich diesen Vortrag ihm gewidmet (obwohl er laut eigener Aussagen "nur" ein "phil. I" Lehrer war...).

Dieser Vortrag hier soll vor allem humorvoll sein – nicht alles, was ich hier schreibe, ist wirklich ernst gemeint (da ich nämlich jedem Neurobiologen misstraue...).
Humor (bzw. "Spielfreude") ist denn nicht zuletzt auch vielleicht die wichtigste Eigenschaft eines Lehrers...
Zudem: "Gedanken" und "Karten" (vgl. Richard Dawkins' "Meme") sind vermutlich die stärksten und "potentesten" Waffen (und Drogen), die "wir" als H. sapiens besitzen (siehe Voltaire und Maupertuis) – und daher sollten "wir" jeden Gedanken mit etwas Humor auch gleich wieder "entschärfen"...

Nun, wenn ein einzelner (!) Schüler zu mir in den Unterricht ins "Learn In" kommt, dann interessiert mich eben immer nur "das Eine" (!):

Folie 2

Das einzige, was mich wirklich interessiert, ist weder die Mathematik (also der eigentliche Gegenstand) noch sonst irgendetwas, sondern eben die "Potentiallandschaft" des Schülers, d.h. sein Potential ("Yes I CAN"! "Yes I am ABLE to...") bzw. sein Vermögen bzw. sein Reichtum bzw. sein "Selbst".
(Vgl. hierzu auch den kurzen etymologischen Ausflug in die Sprachgeschichte der indogermanischen Wurzel "*poti" [3]]).
Und in der Regel merkt dies auch nach ca. 2 Minuten der Schüler selbst (d.h. er wird durch mich auf sein eigenes unsichtbares Hirn bzw. seine "Potentiallandschaft" bzw. sein "Selbst" aufmerksam gemacht)...

Die "reichsten" Schüler haben eben auch die "meisten" Möglichkeiten (Englisch: "possibilities") und daher auch die größte Potenz (nicht nur beim Rechnen mit Potenzen...) und auch die größte "Sensibilität".

ALLERDINGS: Da das Schülerhirn in der Regel permanent mit anderen (lebenswichtigeren!) Dingen als nur mit Mathematik beschäftigt ist (siehe in der obigen Animation die permanent shiftende Dynamik dieser Potentiallandschaft...), ist es für Lehrer nicht ganz einfach, durch Interaktion bzw. "Störungen" ("contingent perturbations") diese Potentiallandschaft im Sinne des politisch korrekten ("vorgegebenen") Lehrplans zu modulieren & modifizieren & gestalten.
D.h. es ist nicht ganz einfach, irgendwo in diesem "Chaos" des Schülerhirns neue und attraktive "Attraktoren" aufzubauen und zu "stabilisieren", so dass der Schüler im Endeffekt auch ein paar neue mathematische "Fähigkeiten" und Möglichkeiten ("possibilities" & "abilities") "lernt" und diese denn auch nicht sogleich wieder "vergisst".
Bei solch hochdynamischen und extrem schnellen Interaktionen (Spielen & Dialogen zwischen einem "Schüler"-Hirn und einem "Lehrer"-Hirn) können manchmal schon 100 Millisekunden ("Timing", "Feedback"!) darüber entscheiden, ob tatsächlich Etwas im Schülerhirn stabilisiert wird oder ob nicht einfach das Ganze in den übrigen "Wogen" und "Wellen" des Schülerhirns verpufft (also keine stabile Spur hinterlässt).

Letztlich gilt ja der Satz: "everything boils down to a problem of stabilities and stabilizations":
Letztlich ist nämlich alles (inkl. einer sog. "Evolution" mit ihren "Fitness-Landschaften" und "Selektionen" und "individual longevity" sowie "population density") nur ein gigantisches Problem von Stabilität und Stabilisierungsprozessen (sowie Karten...) auf ALLEN nur erdenklichen Ebenen – angefangen von thermodynamisch stabilen Proteinfaltungen über mehr oder weniger stabile Membran- und neuronale Aktionspotentiale und stabile neuronale Netzwerke ("Gedächtnis"!) bis hin zu sog. "evolutionär stabilen Strategien", "stabilem aufrechtem Gang", "stabile Mumifizierung", "Aufrechterhalten aller schon vorhandener Körper durch perfekte Medizin", "stabilen Lösungen in der numerischen Mathematik", "stabilen Beziehungen" ("Treue", "Vertrauen", "Wärme"!!!), "stabilen Finanzmärkten", "stabilem Staat", "stabiler Gesellschaft", "stabilen Lehrplänen" und der Mathematik als weltweit und global wohl stabilster (und: "evolutionär erfolgreichsten"?) "Wissenschaft" bzw. "Sprache" bzw. Karte überhaupt.
Daher wird Mathematik (inkl. mathematische "Funktionen", also auf Englisch: "maps" bzw. "mappings") denn auch nie als Fach abwählbar werden (schade für die geplagten Schüler...), da die Mathematik als stärkste globale (!) soziale Norm nicht nur der gesamten globalen Kartographie (Google Maps...), Technik, Wirtschaft (Zinseszins, Wachstumsfaktoren!) und Industrie (DIN-Norm!), sondern auch noch der gesamten Physik und Chemie (und bald auch der gesamten Biologie [Wachstum!] und damit auch Psychologie etc.) zugrundeliegt...

Folie 3

Trotz gigantischer Maschinen und zahlreicher Tierversuche ist es aber den heutigen Neurobiologen leider immer noch nicht gelungen, diese hochdynamische Potentiallandschaft in jedem individuellen Hirn "online und in Echtzeit" zu kartieren – und daher habe ich auch heute noch keine individuelle Potentialfunktion U(x,t) zur Hand, mit der ich jedes individuelle Hirn beschreiben könnte und all seine Verhaltensweisen voraussagen könnte
(vgl. hierzu aber auch HAYNES & REES 2006, KAY et al. 2008, und HASSABIS et al. 2009 [4] : "decoding mental states" => mir wäre hier ja lieber: "decoding mental dynamics"...):

So sind denn die sog. "statistical parametric maps" (SPMs) und "voxel maps" bzw. (vulgo) "experimentell-mathematisch erzeugten Hirnbilder" immer noch komplett statisch (siehe obige Folie unten), sodass die eigentlich interessantesten Aspekte des Gehirns – die dynamischen Interaktionen und die permanent ablaufenden "Shifts", "perturbations" und "Stabilisierungsprozesse" – leider immer noch "unsichtbar" sind (d.h. noch nicht "in Echtzeit kartierbar").
Nur hochsensible ("einfühlsame") Mathe-Nachhilfelehrer im individuellen Einzelunterricht (aber nicht: Massenunterricht mit 20 verschiedenen Potentiallandschaften und Hirnen!) sind wohl in der Lage, diese dynamische Potentiallandschaft im jeweils individuellen Schülerhirn in Echtzeit zu "sehen"...

(P.S.: Hochsensibilität bzw. "HochsensABILItät" bedeutet auf Englisch: being ABLE to map (detect) the slightest shifts... Und übrigens: wie ein guter Lehrer und "Seelenarzt" sofort den Zustand der Dynamik einer Potentiallandschaft bzw. eines "Selbstes" erfassen kann, so kann ein perfekter Mediziner auch automatisch sofort den Zustand der Dynamik der Potentiallandschaft eines Körpers, also eines komplexen biochemischen Netzwerkes, erfassen [vulgo: "Diagnose stellen"]).

Folie 4

Immerhin haben es die Neurobiologen (wie Stanslas Dehaene et al.) mittlerweile geschafft, den Zahlenstrahl als "mental number line" im Hirn (genauer: im Kortex) zu lokalisieren, bzw. noch genauer: im Intraparietalen Sulcus (IPS).
In diesem Areal in der Hirnrinde finden sich Neurone, die gezielt auf die Erkennung und den Vergleich diskreter Mengen bzw. (An-)Zahlen ("magnitude", "numerosity") trainiert sind (also: "5 Bananen sind mehr als 2 Bananen", bzw. einfach: "5 ist größer als 2").
Individuelle Veränderungen bzw. interindividuelle ("evolutionäre") Variabilität in diesem Areal dürften vermutlich auch im Falle einer "Dyscalculie" involviert sein... (siehe hierzu genauer: [5] ).
Wie diese Autoren (Dehaene, Merten, Nieder et al.) ebenfalls herausgefunden haben (siehe obige Folie unten), ist der Zahlenstrahl im Kopf "von Anfang an" logarithmisch komprimiert bzw. "verzerrt" (d.h. auf Englisch: "biased" – vor allem bei "indigenen Naturvölkern" und "Kleinkindern").
Erst durch mathematisches Training (Schule!) erfolgt ein "cultural shift" hin zu einer (fast) linearen ("non-biased", also "entzerrten", "nicht-komprimierten") und kontinuisierten Zahlenskala im Hirn... (von den diskreten natürlichen Zahlen bis hin zum reellen Zahlenkontinuum).

Im Übrigen ist ja auch die Körperkarte im Kortex (der "cortical homunculus") extrem verzerrt: diejenigen Teile des Körpers, die am meisten gebraucht (und damit auch am meisten differenziert) sind, nehmen am meisten Platz auf der Hirnrinde ein und brauchen am meisten neuronale Ressourcen... (siehe Bild rechts in der Folie oben).

Folie 5

Wie Stanislaes Dehaene selbst in einem sehr lesenswerten Interview mit Jim Holt bemerkt ([6]), ist der wohl schwierigste Übergang in den Rechenfertigkeiten eines Kindes der Übergang von der Addition zur Multiplikation (mein sog. "TOP-1 Fehler" bzw. "Affenfehler": das Verwechseln von Addition und Multiplikation):
"But multiplication is another matter. It is an “unnatural practice,” Dehaene is fond of saying, and the reason is that our brains are wired the wrong way. Neither intuition nor counting is of much use, and multiplication facts must be stored in the brain verbally, as strings of words. The list of arithmetical facts to be memorized may be short, but it is fiendishly tricky: the same numbers occur over and over, in different orders, with partial overlaps and irrelevant rhymes. (Bilinguals, it has been found, revert to the language they used in school when doing multiplication.) The human memory, unlike that of a computer, has evolved to be associative, which makes it ill-suited to arithmetic, where bits of knowledge must be kept from interfering with one another: if you’re trying to retrieve the result of multiplying 7 X 6, the reflex activation of 7 + 6 and 7 X 5 can be disastrous. So multiplication is a double terror: not only is it remote from our intuitive sense of number; it has to be internalized in a form that clashes with the evolved organization of our memory. The result is that when adults multiply single-digit numbers they make mistakes ten to fifteen per cent of the time. For the hardest problems, like 7 X 8, the error rate can exceed twenty-five per cent."

Folie 6

Oder neurobiologisch (siehe Zhou et al. 2006 [7]): während die Addition als "default mode" (also: als evolutionär stabil verankerte Voreinstellung bzw. "bias") vor allem parietale ("evolutionär ältere") Bereiche im visuellen Kortex benutzt, benötigt die Multiplikation AUSSERDEM noch linguistisch-symbolische Bereiche ("methodische" "Umwege" bzw. "short-cuts") in eher vorderen ("evolutionär jüngeren") Bereichen des Kortex (also "temporale" und "frontale" Kortexareale).

Folie 7

So scheint die eher "primitive" Fertigkeit des "Addierens" sogar bei "Affen" evolutionär fest ("stabil"!!!) veranlagt zu sein und auch überlebensnotwendig zu sein, denn:
Was gibt "3 Bananen plus 3 Bananen"? Und die immer wieder auftauchende bange Frage: "Habe ich wirklich MEHR Bananen als mein Nachbar?".
Allerdings ist allein schon der Vergleich von (An-)Zahlen bzw. diskreten (realen) Mengen keine so einfache Sache (und damit schon wieder ein weiterer Grund für Verwechslungen und Chaos in einem armen Schülerhirn), wie AGRILLO et al. 2009 [8] wieder einmal mehr gezeigt haben:
So erfassen denn Fische nicht nur gleichzeitig die diskrete Anzahl bzw. Menge (hier: 3 diskrete Bananen), sondern auch noch die kontinuierliche (visuelle) Grösse der Bananen (denn nur in der Mathematik und in den Supermärkten werden die Bananen als "gleich gross" normiert betrachtet bzw. angenommen).
Denn in der Regel geht es ja auch um die bange Frage: "Habe ich wirklich MEHR und (vor allem auch) GRÖSSERE Bananen als mein Nachbar?"

Und übrigens: an diesem uralten Problem (und Dichotomie und "trade-off") von "diskret" versus "kontinuierlich" arbeiten sich gewisse arme Physiker von heute immer noch ab (siehe z.B. "Quanten" vs. "Wellen", aber auch: "diskrete Mathematik" vs. "klassische Mathematik").
Neurobiologisch handelt es sich hier bei all dem aber einfach nur um zwei verschiedene Karten bzw. zwei verschiedene neuronale Netzwerke (eines für "kontinuierliche Grösse", das andere für diskrete natürliche Anzahl), die im Alltag eines Primaten in komplexer Weise interagieren...

Folie 8

Wie CANTLON & BRANNON 2007 [9] in mehreren Experimenten (genauer: im experimentellen Vergleich von Makaken mit "college students") zeigen konnten, sind die "Affen" genau so schnell im Addieren (von kleinen Punkten bzw. Bällen oder Bananen, aber nicht: symbolisch-numerischen Zahlen...) wie die "Menschen". Allerdings können Affen aber nicht multiplizieren: dieser (kulturell erworbene) linguistisch-symbolische "short-cut" scheint für äffische Potentiallandschaften bzw. "Hirne" einfach nicht "möglich" zu sein.

Folie 9

Für einen Affen wäre es also unmöglich ("impossible"), "3 Bananen mal 3 Bananen" zu rechnen, da er ja nur addieren kann.

Folie 10

Denn tatsächlich macht es für einen Affen keinen Sinn, in "quadratischen Bananen" zu rechnen, denn "3 Bananen" mal "3 Bananen" ergibt ja (physikalisch und mathematisch exakt) "9 Bananen hoch zwei", also: "Bananen im Quadrat" (was wäre denn das? Etwa auf dem Boden zerquetschte Bananen-Flächen???).

Folie 11

Nur "Menschen" (oder wissenschaftlich genauer: Vertreter eines H. sapiens) scheinen die Fähigkeit bzw. Potenz zu "besitzen" (Lateinisch: "possidere" – Entschuldigung für diesen Pleonasmus!), in exakten Quadratmetern zu rechnen. Zwar können auch Affen die Grösse von Territorien in etwa "abschätzen" (motorisch durch Exploration), aber nur "Menschen" können gegenseitig EXAKT prahlen (bzw. mobben...), ein klitzeklein größeres Grundstück bzw. Haus zu besitzen als der Nachbar ("406 Quadratmeter" gegen "403 Quadratmeter").

Hier sieht übrigens denn auch der intelligente (interdisziplinäre) Schüler sofort, dass Mathematik sogar sehr viel DIREKT mit Ethik und Moral zu tun hat (d.h. mit "Juristerei, Wirtschaft und Politik").

Folie 12

Statt mit "Metern" wird in der Mathematik (die keine so schnöden Dinge wie "physikalische Einheiten" kennt...) natürlich nur mit Buchstaben (hier: "m") gerechnet, sodass die entsprechende physikalische Rechnung in der Mathematik in entsprechender Weise "9 m hoch zwei" ergibt.

Dennoch machen gerade hier sehr viele Schüler eben den Top-1 Fehler... (siehe das Beispiel auf der obigen Folie unten).

Folie 13

Zudem ergibt sich ein weiteres Problem beim Abziehen (Subtrahieren) von größeren Zahlen, wo plötzlich "negative Zahlen" herauskommen können.
Oder eben präziser: was gibt "3 Bananen" minus "12 Bananen"?
Für Affenhirne sind denn auch solche "-9 Bananen" eine reine Zumutung ("Anti-Materie?").

Natürlich haben nicht die Mathematiker diese negativen Zahlen erfunden (denn Mathematiker kennen ja nur die Zahl "-1" als einzige negative Zahl), sondern die Wirtschaftler und religiösen Moralapostel ("Schulden", "Schuld", "Sühne", "Rache").

Und leider haben die Physiker schon seit geraumer Zeit ein riesiges Problem bei der "Interpretation" von solchen negativen Zahlen (und natürlich auch mit der "Null" und "Unendlich"...). Dabei geht es aber (neurobiologisch) immer nur um Koordinatensysteme (also Karten). Aber das wäre nun ein anderes (weiteres) Thema...

Folie 14

Daher ist die sichere (stabile!) Fähigkeit des Faktorisierens in der Mathematik wohl so schwierig zu "erlernen", da hier immer die Gefahr des Top-1 Fehlers lauert (d.h. das Verwechseln von Addition und Multiplikation).
Tatsächlich gibt es ja sehr viele Methoden des Faktorisierens (siehe [10]), d.h. des Verwandelns von Summen (Addition) in Produkte mit Faktoren (Multiplikation), was ich hier an einem kleinen Beispiel bis ins kleinste nachvollziehbare Detail vordemonstrieren möchte (die gesamte Prozedur läuft bei Mathematikern perfekt automatisiert und ohne zu denken ab – wie bei einer Checkliste für Piloten bzw. Autopiloten!):

Folie 15

Zuerst wird alles (da Mathematiker ja nur Primzahlen kennen...) in Primfaktoren zerlegt (1. Methode: PRF = Primfaktorzerlegung) ...

Folie 16

... dann werden "gleiche" (d.h. exakt gleich aussehende) Faktoren bzw. Bälle mit (z.B.) pinkfarbenem Leuchtstift MARKIERT ("umballt"), diese alle markierten Bälle (oder Quadrate) vor eine Klammer gesetzt, und dann wird ALLES NICHTMARKIERTE von links nach rechts EINFACH abgeschrieben (Mathematiker schreiben nur ab und rechnen NIE!!!) und schliesslich wird die Klammer dann geschlossen... (dies alles nennt "man" "Ausklammern" = 2. Methode = AF)

Folie 17

Anschliessend können (!) dank der Methode (!) der "Binomischen Formeln" (3. Methode: BF) auch noch die quadratischen Terme runtergebrochen werden auf lineare Terme und sogar (durch weiteres Ausklammern) auf ein Produkt von...

Folie 18

... MATHEMATISCH PERFEKTEN Linearfaktoren (LF) oder ein Produkt von lauter (hier hellblauen) "Bällen".

Folie 19

WARUM muss ich (als Schüler bzw. als POTENTIALlandschaft bzw. "Hirn") diesen ganzen "FAK" (d.h. das Faktorisieren) überhaupt noch "KÖNNEN"?
Immerhin gibt es ja heute so perfekte Taschenrechner wie den TI-89, dessen zweitwichtigste Taste ja gerade "FACTOR" ist, mit der ich ALLES automatisch und perfekt vom Rechner faktorisieren lassen kann!
Und tatsächlich weist ja angesichts dieses großen Problems ("TOP-1 Fehler) Stanislas Dehaene immer wieder darauf hin, man solle den Kindern schon in der ersten Primarklasse einfach Taschenrechner (wie den TI-89?) geben, dann sei dieses Problem einfach erledigt... (was aber nicht unbedingt für das Rechnen mit Buchstaben gilt...).

Warum also muss ich selber denn noch faktorisieren können? Nur um zu zeigen, dass ich wirklich kein Affe mehr bin und tatsächlich faktorisieren KANN?

Folie 20

Nun, immerhin kann ich jetzt Summen perfekt in Produkte mit Faktoren (Bällen) verwandeln und dann auch kompliziertere Terme PERFEKT "kürzen"... und NUR Bälle bzw. Faktoren in Produkten dürfen denn auch gekürzt werden!

Folie 21

Und nicht umsonst heißt ja der "Fundamentalsatz der Algebra" "fundamental":
Nicht weil Mathematiker "Fundamentalisten" wären (obwohl sie die stabilste aller Wissenschaften bzw. Karten besitzen [poti!]), sondern weil dieser Satz einfach den fundamentalen Übergang von Summen (Addition) zu Produkten (Multiplikation) darstellt – und damit wohl auch den fundamentalen "cultural shift" von einem "Affen" hin zu einem "Menschen" (H. sapiens)...?

Folie 22

Und nur um zu zeigen, dass ich sogar noch all diese automatischen symbolischen Rechner und Roboter (TI-89 etc.) toppen KANN, rechne ich als perfekter Mathematiker ja auch schon längst nicht mehr mit simplen Zahlen oder Buchstaben, sondern nur noch mit Bällen – denn das KÖNNEN die Taschenrechner und Roboter immer noch nicht, sondern nur eben perfekte POTENTIALlandschaften bzw. perfekt ausgebildete "Hirne"...

Folie 23

Und hier noch die Literaturangaben...

Folie 24

Dank an Jessica Cantlon (die mir das Video geschickt hat), an Stanislas Dehaene bzw. Jean-Pierre Changeux (der Lehrer von Stanislas Dehaene), und natürlich Dank an YOU!

Und auch wenn sich vielleicht 20% des obigen Vortrages später mal als "falsch" herausstellen sollte (denn wissenschaftliche Karten sind immer nur "vorläufige" "Wahrheiten" bzw. "Stabilitäten"), so hoffe ich doch, wenigstens zu neuen "Gedanken" (!) angeregt zu haben... (ja, die immer wieder aufblinkende "contingent perturbation" in der Animation von Folie 2 weiter oben...).